latex/short_paper/JDS2014_short2.tex

   1 \documentclass[12pt]{article}
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   4 % Retirez le caractere "%" au debut de la ligne ci--dessous si votre
   5 % editeur de texte utilise des caracteres accentues
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  10 % Retirez le caractere "%" au debut des lignes ci--dessous si vous
  11 % utiisez les symboles et macros de l'AMS
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  15 %
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  19
  20 % for figures and tables
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  30 }
  31 \usepackage{scrextend}
  32 \usepackage{booktabs}
  33 %
  34 %
  35 \begin{document}
  36
  37 %--------------------------------------------------------------------------
  38
  39 \begin{center}
  40 {\Large
  41     {\sc Parallélisation de l'algorithme des $k$-médoïdes. Application au clustering de courbes.} %heuristique ?!
  42 }
  43 \bigskip
  44
  45 Benjamin Auder $^{1}$ \& Jairo Cugliari $^{2}$
  46 \bigskip
  47
  48 {\it
  49 $^{1}$ Laboratoire LMO. Université Paris-Sud. Bât 425. 91405 Orsay Cedex, France.\\benjamin.auder@math.u-psud.fr
  50
  51 $^{2}$ Laboratoire ERIC. Université Lumière Lyon 2. Bât K. 69676 Bron Cedex, France.\\jairo.cugliari@univ-lyon2.fr
  52 }
  53 \end{center}
  54 \bigskip
  55
  56 %--------------------------------------------------------------------------
  57
  58 {\bf R\'esum\'e.}
  59 Nous présentons une méthode de clustering adaptée à de grandes bases de données de courbes densément discrétisées, donc elle-mêmes en grande dimension.
  60 La classification obtenue peut être utilisée afin de choisir de meilleurs modèles de prédiction de courbes, plus spécifiques, dans chacun des groupes.
  61 La méthode consiste en deux principales étapes :
  62 réduire la dimension des courbes via une base d'ondelettes, puis effectuer le clustering en parallèle.
  63 Les ondelettes sont bien adaptées pour identifier des caractéristiques localisées en temps et échelle.
  64 De plus, l'aspect multi-résolution de la transformée en ondelettes permet de regrouper les coefficients
  65 selon leur contribution à l'énergie totale, fournissant ainsi des représentants compacts pour chaque courbe.
  66 L'algorithme des $k$-médoïdes est appliqué à plusieurs sous-échantillons de l'ensemble des représentations réduites,
  67 puis les centres finaux sont obtenus en recherchant la médiane (ou éventuellement la moyenne) des médoïdes des échantillons.
  68 Des applications sont présentées sur deux jeux de données, dont les consommations électriques irlandaises journalières.
  69 \smallskip
  70
  71 {\bf Mots-cl\'es.} réduction de dimension, ondelettes, $k$-médoïdes, parallèle
  72 \bigskip\bigskip
  73
  74 {\bf Abstract.}
  75 We present a clustering method adapted to large databases of densely sampled curves, hence themselves in high dimension.
  76 The resulting classification can help to better tune models to predict new curves, each in every group.
  77 The method consists of two main steps:
  78 use a wavelet basis to reduce curves dimensionality, and then run a parallel clustering algorithm.
  79 Wavelets are well suited to identify characteristics localized both in time and space.
  80 Moreover, the multiresolution nature of the wavelets transform allows to group coefficients according to their
  81 contribution to the total energy, thus providing compact representations for every curve.
  82 The $k$-medoids algorithm is applied to several subsamples of all the reduced representations, and then the final
  83 centers are obtained by computing the median (or mean) of the samples medoids.
  84 Applications are shown on two databases, including Irish daily electrical consumptions.
  85 \smallskip
  86
  87 {\bf Keywords.} dimensionality reduction, wavelets, $k$-medoids, parallel
  88
  89 %~ Nous présentons une méthode de clustering adaptée à de grandes bases de données de courbes densément discrétisées, donc elle-mêmes en grande dimension. La classification obtenue peut être utilisée afin de choisir de meilleurs modèles de prédiction de courbes, plus spécifiques, dans chacun des groupes. La méthode consiste en deux principales étapes : réduire la dimension des courbes via une base d'ondelettes, puis effectuer le clustering en parallèle. Les ondelettes sont bien adaptées pour identifier des caractéristiques localisées en temps et échelle. De plus, l'aspect multi-résolution de la transformée en ondelettes permet de regrouper les coefficients selon leur contribution à l'énergie totale, fournissant ainsi des représentants compacts pour chaque courbe. L'algorithme des k-médoïdes est appliqué à plusieurs sous-échantillons de l'ensemble des représentations réduites, puis les centres finaux sont obtenus en recherchant la médiane (ou éventuellement la moyenne) des médoïdes des échantillons. Des applications sont présentées sur deux jeux de données, dont les consommations électriques irlandaises journalières.
  90
  91 %--------------------------------------------------------------------------
  92
  93 \section{Introduction}
  94
  95 % * clustering
  96 % * parallelisation of clustering
  97 % * fda + wavelets
  98 % * données individuelles de conso
  99
 100 Récemment, le contexte du \textit{Big Data} a rendu nécessaire le développement d'algorithmes spécifiques à de (très)
 101 grands volumes de données, éventuellement aussi en grande dimension comme c'est le cas dans notre étude.
 102 Ainsi ont vu le jour des algorithmes opérant sur de grands graphes (Kang et al.~2009) ou sur des flux de données haut débit (De Francisci Morales et Bifet~2013), entre entres.
 103 Le livre de Bekkerman et al.~(2011) présente des algorithmes de Machine Learning s'exécutant en parallèle sur diverses architectures, et
 104 ce type de programmation est en plein essor.\\
 105
 106 \noindent La classification non supervisée (\textit{clustering}) est une des branches de l'apprentissage non supervisé.
 107 L'objectif est de regrouper les données en \textit{clusters} homogènes, suffisamment distincts deux à deux.
 108 Depuis la proposition originale de Tyron~(1939) un grand nombre d'articles ont été publié à ce sujet (voir Berkhin~2006 pour une revue).
 109 Cependant, il n'y a pas de consensus sur la définition d'un cluster : celle-ci varie en fonction des données, du contexte et de l'algorithme utilisé.
 110 Malgré ce fait, la classification non supervisée reste une technique très populaire qui permet
 111 de réduire la taille des données en les résumant à quelques représentants ; c'est particulièrement intéressant lorsqu'on travaille sur de grosses bases de données.\\
 112
 113 \noindent Dans ce travail nous avons choisi d'adapter un algorithme de clustering classique pour une exécution parallèle, opérant sur des données de dimension réduite.
 114 La première partie présente la technique retenue afin d'abaisser la dimension via une base d'ondelettes.
 115 L'algorithme classant les données en parallèle est expliqué dans la seconde partie, puis nous montrons quelques résultats de tests.
 116
 117 \section{Réduction de dimension}
 118
 119 Dans cette section nous expliquons comment sont traitées les variables fonctionnelles (voir Antoniadis et al.~(2013) pour plus de détails).\\
 120
 121 \noindent Chaque fonction $z$ est d'abord discrétisée sur une fine grille (toutes les 30 minutes pour les consommations électriques), et
 122 la discrétisation est encore notée $z = \{ z(t_i), i = 1, \ldots, N \}$.
 123 $z$ est alors approchée (jusqu'à l'échelle $J$) par un développement tronqué sur une base d'ondelettes avec un coefficient d'échelle $c_{0,0}$
 124 et les coefficients d'ondelettes $\{d_{j, k}\}_{j, k}$ :
 125 %
 126 \begin{equation} \label{approx}
 127     z_J(t) = c_{0,0} \phi_{0, 0} (t) + \sum_{j=0}^{J-1} \sum_{k=0}^{2^j - 1} d_{j,k} \psi_{j, k} (t).
 128 \end{equation}
 129 Alors, l'énergie $\mathcal{E}_Z =  \| z \|^2_{ L_2 }$ de chaque fonction $z$ est égale à la somme des énergies
 130 de ses coefficients en ondelettes distribuées à travers les échelles :
 131 %
 132 \begin{equation} \label{scaledist}
 133     \mathcal{E}_z \approx c_{0,0}^2 + \sum_{j=0}^{J-1} \| \mathbf{W}_j \|^2_2,
 134 \end{equation}
 135 %
 136 où $\| \mathbf{W}_j \|^2_2 = (d_{j, 0}, \ldots d_{j, 2^j - 1})'$, l'approximation étant due à la troncature à l'échelle $J$.
 137 On ne s'intéresse qu'à l'information contenue dans la forme des fonctions, pas à celle de son niveau moyen.
 138 Ainsi, on définit la contribution absolue de l'échelle $j$ à l'énergie globale de la fonction centrée comme
 139    \[ \hbox{cont}_j = \| \mathbf{W}_j \|^2_2, \qquad j=0,\ldots,J-1. \]
 140 Finalement, chaque fonction est caractérisée par le vecteur de ses contributions absolues à l'énergie globale.\\
 141
 142 \noindent En pratique nous choisissons $J$ de l'ordre de $\log_2(N)$ : c'est la valeur maximale possible compte-tenu de la discrétisation.
 143
 144 \section{$k$-médoïdes parallèle}
 145
 146 Nous rappelons tout d'abord l'algorithme des $k$-médoïdes, puis indiquons comment s'est déroulée la parallélisation.\\
 147
 148 %\subsection{Algorithme des $k$-médoïdes}
 149 \noindent \textbf{Algorithme des $k$-médoïdes}\\
 150 Comme dans l'algorithme des $k$-means, l'idée est de partitionner les données autour de $k$ centres, ici appelés \emph{médoïdes}.
 151 La fonction à minimiser (\emph{distorsion}) est similaire :
 152 $$D(x) = \min_{m_1,\dots,m_k \in \mathbb{R}^d} \sum_{i=1}^{n} \min_{j=1,\dots,k} \| x_i - m_j \| \, ,$$
 153 avec $x = (x_1,\dots,x_n)$, $\|\,.\,\|$ pouvant désigner n'importe quelle norme ; ici nous choisissons la norme euclidienne.
 154 Les distances n'apparaissant pas au carré, cet algorithme est moins sensible aux outliers que le $k$-means.
 155 Cependant, sa programmation est plus délicate car dans le cas de la médiane spatiale il n'existe pas de formule analogue à celle de la moyenne.
 156 La première implémentation de l'algorithme est celle de Kaufman et Rousseeuw~(1987), PAM pour Partitioning Around Medoids.
 157 Elle est assez coûteuse, mais donne de bons résultats et reste simple à écrire. Diverses heuristiques ou accélérations autour de cette implémentation
 158 ont été développés (voir Chu et al.~2002 par exemple), mais nous utilisons ici la version originale, qui se révèle suffisante.\\
 159 %TODO: encadré algo PAM. [si reste de la place...]
 160
 161 %\subsection{Parallélisation avec MPI}
 162 \noindent \textbf{Parallélisation avec MPI}\\
 163 MPI est une librarie permettant de faciliter l'écriture de programmes en parallèle.
 164 %Elle est disponible pour divers langages dont le C, que nous avons choisi.
 165 %~ Son principe est le suivant :
 166 %~ \begin{enumerate}
 167 %~ \item un certain nombre de coeurs de calcul sont alloués et initialisés avec les mêmes valeurs sauf une : le rang du processus ;
 168 %~ \item chaque coeur exécute séquentiellement deux types d'instructions : locales, comme dans un programme normal,
 169 %~ et de communication, où il envoie un ou plusieurs message à un ou plusieurs autres processus. Ces messages peuvent demander ou envoyer des résultats, mais aussi
 170 %~ effectuer des actions plus élaborées comme [TODO]
 171 %~ \item le calcul se termine lorsque tous les coeurs sont arrêtés.
 172 %~ \end{enumerate}
 173 Nous l'utilisons en mode master-slave, c'est à dire que le travail est divisé en deux types d'entités: un processus coordinateur,
 174 et des coeurs se contentant d'exécuter les demandes du processus maître.
 175 %~ \begin{itemize}
 176 %~ \item master : reçoit l'entrée initiale, coordonne les autres processus pour effectuer la tâche, et rassemble les résultats ;
 177 %~ \item slave : boucle en attendant des instructions du processus maître, exécute les sous-tâches et retourne les résultats partiels.
 178 %~ \end{itemize}
 179 Voici le flot d'exécution du programme final :\\
 180 %\begin{enumerate}
 181 \begin{addmargin}[1em]{2em}% 1em left, 2em right
 182 \noindent \textbf{1.} le processus maître découpe le problème en sous-tâches sur des jeux de données plus petits, et les envoie à chaque esclave ;\\
 183 \textbf{2.} pour une sous-tâche donnée, on réduit la dimension puis applique l'algorithme de clustering, et retourne les centres ;\\
 184 \textbf{3.} le processus principal récupère et aggrège les résultats en un jeu de $k$ centres.\\
 185 \end{addmargin}
 186 %\end{enumerate}
 187 Le code sera disponible prochainement sur \href{https://github.com/}{github}.
 188 %TODO: code disponible en ligne sur github. (faut beautifier quelques bricoles dans le code d'abord, en particulier serialize/deserialize et type d'ondelette en argument (?!)
 189
 190 \section{Applications}
 191
 192 Deux jeux de données ont été utilisés ici : des évolutions de magnitudes d'étoiles, et de consommations électriques de clients individuels.
 193
 194 \subsection{Magnitudes d'étoiles}
 195
 196 Ce jeu de données récupéré via le site web de Keogh et al.~(2011) consiste en un ensemble d'entraînement de 1000 courbes,
 197 et une base de test de 8236 courbes. Chacune d'entre elle a un label compris entre 1 et 3 ; la figure \ref{figsltr3clusts} les représente.
 198 On remarque que les groupes 1 et 3 sont assez similaires, contenant des courbes difficiles à classer.
 199
 200 \begin{figure}[H]
 201 \begin{minipage}[c]{.32\linewidth}
 202     \includegraphics[width=5cm,height=3.5cm]{img/slgr1.png}
 203     \vspace*{-0.3cm}
 204     \caption{Groupe 1}
 205 \end{minipage}
 206 \begin{minipage}[c]{.32\linewidth}
 207     \includegraphics[width=5cm,height=3.5cm]{img/slgr2.png}
 208     \vspace*{-0.3cm}
 209     \caption{Groupe 2}
 210 \end{minipage}
 211 \begin{minipage}[c]{.32\linewidth}
 212     \includegraphics[width=5cm,height=3.5cm]{img/slgr3.png}
 213     \vspace*{-0.3cm}
 214     \caption{Groupe 3}
 215 \end{minipage}
 216 \label{figsltr3clusts}
 217 \end{figure}
 218
 219 Compte-tenu du relatif faible nombre d'échantillons nous pouvons lancer le programme sur tout le jeu de données ;
 220 cela permet de comparer aux résultats obtenus par la version parallèle, que l'on espère presque aussi bons.
 221 Le tableau \ref{tabDistorSl} contient les distorsions empiriques calculées sur les ensemble d'entraînement et de test,
 222 ainsi que l'adéquation des deux partitions ("intra"), et leur adéquation à la partition réelle ("inter"). Cette dernière est mauvaise à cause de la remarque précitée :
 223 les courbes des clusters 1 et 3 se ressemblent trop pour appliquer un algorithme de partitionnement de type $k$-means.\\
 224
 225 \begin{table}[H]
 226 \centering
 227 \begin{tabular}{lccc}
 228 \toprule
 229  &            & \multicolumn{2}{c}{Adéquation} \\
 230  & Distorsion & Intra & Inter \\
 231 \midrule
 232 Entraînement séquentielle. & 1.31e4 & 0.79 & 0.77\\
 233 %\hline
 234 Entraînement parallèle & 1.40e4 & 0.79 & 0.68\\
 235 %\hline
 236 Test séquentielle & 1.09e5 & 0.78 & 0.76\\
 237 %\hline
 238 Test parallèle & 1.15e5 & 0.78 & 0.69\\
 239 \bottomrule
 240 \end{tabular}
 241 \caption{Distorsions et indices d'adéquation des partitions}
 242 \label{tabDistorSl}
 243 \end{table}
 244
 245 % \begin{table}[H]
 246 % \centering
 247 % \begin{tabular}{|l|c|c|c|}
 248 % \hline
 249 %  & Distorsion & "Intra-adéquation" & "Inter-adéquation" \\
 250 % \hline
 251 % Entraînement seq. & 1.31e4 & 0.79 & 0.77\\
 252 % \hline
 253 % Entraînement // & 1.40e4 & 0.79 & 0.68\\
 254 % \hline
 255 % Test seq. & 1.09e5 & 0.78 & 0.76\\
 256 % \hline
 257 % Test // & 1.15e5 & 0.78 & 0.69\\
 258 % \hline
 259 % \end{tabular}
 260 % \caption{Distorsions et indices d'adéquation des partitions}
 261 % \label{tabDistorSl}
 262 % \end{table}
 263
 264 %~ 1) Starlight curves : utiliser 1000 (resp. 3000) courbes pour le clustering, puis ~9000 (resp. ~7000) pour classif.
 265 %~ Comparer les médoïdes (renuméroter en sortie du code), et afficher les perfs : taux de classif correcte.
 266
 267 \subsection{Consommations électriques irlandaises}
 268
 269 Nous utilisons les données de consommation d'électricité de foyers irlandais (Electricity Smart Meter CBT) de l'ISSDA\footnote{\textit{Irish Social Science Data Archive}, \url{http://www.ucd.ie/issda/data/}.}. Après nettoyage des données manquantes, ce jeu de données consiste en 4621 séries temporelles représentant l'évolution de la consommation électrique d'autant de foyers irlandais.
 270 %Celles-ci sont similaires aux courbes EDF sur lesquelles vise à être appliquée notre méthode.
 271 Nous avons choisi d'appliquer l'algorithme avec 3 et 5 classes. Compte-tenu du grand nombre de points de discrétisation (25k)
 272 et de la haute variabilité des données, celles-ci sont difficiles à représenter. Ainsi nous n'indiquons que les résultats numériques ;
 273 ils sont visibles dans le tableau \ref{tabDistorIr}, et sont cette fois plutôt bons.\\
 274
 275 \begin{table}[H]
 276 \centering
 277 \begin{tabular}{lcc} \toprule
 278 %\hline
 279  &            & Intra-adéquation \\
 280  & Distorsion &  séquentielle vs parallèle \\
 281 \midrule %\hline
 282 3 clusters séquentielle & 1.90e7 & 0.90\\
 283 %\hline
 284 3 clusters parallèle & 2.15e7 & 0.90\\
 285 %\hline
 286 5 clusters séquentielle & 1.61e7 & 0.89\\
 287 %\hline
 288 5 clusters parallèle & 1.84e7 & 0.89\\
 289 \bottomrule %\hline
 290 \end{tabular}
 291 \caption{Distorsions et indices d'adéquation des partitions}
 292 \label{tabDistorIr}
 293 \end{table}
 294 %pour un nombre de clusters égal à 3, 7 et 15.
 295
 296 \section{Conclusion}
 297
 298 Nous avons cherché à identifier des groupes de consommateurs à partir de données fonctionnelles
 299 pour bénéficier de l'information supplémentaire fournie par la forme des courbes, qui serait perdue
 300 si on les considérait comme de simples vecteurs. Cette forme est capturée $-$ entre autres caractéristiques $-$
 301 par les coefficients d'ondelettes, regroupés par niveaux d'énergie. Les dissimilarités sont calculées ensuite
 302 via une distance $L^p$. Alternativement (ou complémentairement), il serait intéressant d'utiliser une mesure de dissimilarité
 303 plus directement basée sur la forme des courbes, comme le font Antoniadis et al.~(2013) ou Heckman et Zamar~(2000).
 304
 305 Ensuite, la procédure de clustering mise en place est prévue pour passer à l'échelle. Initialement conçue pour être appliquée sur un jeu de données de plusieurs dizaines de millions de courbes, elle pourrait être appliquée à l'ensemble de clients d'un pays. Les résultats obtenus sur les deux jeux de données présentés sont assez encourageants, et permettent d'envisager une utilisation à plus grande échelle.
 306
 307 %~ \section{Exemple de r\'ef\'erences bibliographiques}
 308 %~ La n\'ecessit\'e de produire des r\'esum\'es clairs et bien
 309 %~ r\'ef\'erenc\'es a \'et\'e d\'emontr\'ee par Achin et Quidont~(2000).
 310 %~ Le r\'ecent article de Noteur~(2003) met en \'evidence \dots
 311
 312 %Quelques rappels :
 313 %%
 314 %\begin{center}
 315 %%
 316 %\begin{tabular}{lr} \hline
 317 %%
 318 %Accent aigu :              &  \'e; \\
 319 %Accent grave :             &  \`a;\\
 320 %Accent circonflexe :       &  \^o mais \^{\i};\\
 321 %Tr\'emas :                 &  \"o mais \"{\i};\\
 322 %C\'edille :                &  \c{c}. \\ \hline
 323 %\end{tabular}
 324 %%
 325 %\end{center}
 326
 327 %--------------------------------------------------------------------------
 328
 329 \section*{Bibliographie}
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